라그랑제 승수 ( Lagrange multipliers )

초간단 예제

 

F(x,y) = x + y이고

이것의 제한 조건이 x^2 + y^2 = 1일때

 

이 두개를 만족하는 해 중에 최대값은 이고, 최소값은 이다.

 

g(x,y) - c = x^2 + y^2 - 1

Λ(x,y,λ) = f(x,y) + λ(g(x,y) − c) = x + y + λ(x² + y² − 1)

을 편미분 한다.

 

첫번째로 x로 편미분 하면

두번째는 y로 편미분 하고

세번재는 lambda로 편미분하면( lambda =  )

아래와 같이 3개의 다항식을 얻을수 있다.

 

 

 

보통 (iii) lamba로 편미분한 다항식은 처음 조건으로 제시된 제한 조건과 일치한다.

처음 두개의 다항식{ (i),(ii) }를 결합하면

 

1 + 2Lx = 1 + 2Ly (L : lambda )

2Lx = 2Ly

x = y가 된다.

따라서 세번째식 x^2 + y^2 = 1을

x^2 + x^2 = 1 => 2x^2 = 1로 변환할수 있고

x^2 = 1/2 가 되고 결국 x =   또는 라는 해를 얻을수 있다.

 

이 해를  함수에 적용해보면

 가 되고

결국 제한조건을 만족하는 함수 f의 최대값은 가 되고 최소값은 가 된다.

 

간단 예제

f(x,y) = x^2y이고

제한조건이 x^2 + y^2 = 3일때

g(x,y) - c = x^2 + y^2 - 3이다.

 

에서

첫번째로 x로 편미분 하면

두번째는 y로 편미분 하고

세번재는 lambda로 편미분하면

아래와 같이 3개의 다항식을 얻을수 있다.

 

첫번째 다항식에서 x = 0이거나 lambda가 -y이면 첫번째 다항식을 만족한다.

만약 x = 0일 경우를 보면 가 되고 lambda = 0이된다.

lambda = -y라면

두번째 다항식에 적용하면 다음과 같이 된다.

x^2 - 2y^2 = 0  => x^2 = 2y^2

다시 세번째 다항식에 적용하면

2y^2 + y^2 -3 = 0   =>  3y^2 = 3   => y^2 = 1

이 된다.

따라서 해는

가 되고

우리가 찾고자 하는 값은

 

 

global maximum :

 

local maximum :

local minimum :  을 얻을수 있다.

 

 

 

comment : 함수가 주어지고 이 함수에 대한 특정 제한 조건이 존재할때, 이 제한 조건을 만족하는 최대값과 최소값을 라그랑제 승수로 구할수 있다.